05 Laplace transform 03 (라플라스 변환)

time domain에서 각 함수를 convolution을 한 한것은 s domain 즉, L transform 한 값을 곱한 것과 결과 값이 같다.

function convolution이 복잡할 때는 각각 L transform을 해주고 그것을 곱하여 output 을 계산하고 다시 inver L transform을 하는방법이 존재한다.

derivative 도 결국은 system (LTI)이다. 여기서 LTI에 L transform을 적용하는 것은 input x(t)에 L transform을 적용하는것 과 동일하다.

값도 Y(S) = s * X(S) 로 위의 과정과 동일하게 나오게된다.

위 의미를 해석하자면 time domain에서는 미분을 한다는 것은 s domain에서는 s를 곱해주는 것과 동일하다.

i를 e^iw에 곱한다는것은 e^(i*pi/2)  * e^iw 이다. 즉 e^i * (w+pi/2) , 벡터를 90도 반시계방향으로 이동시킨 것이다.

first ode를 e^at로 가정해서 푸는게 아니라 각 term 에 L transform을 가해서 Y(S)로 정리한 후에 값을 구하고 inver L transform을 해서 time domain의 y(t) 값을 구한 예시이다.

보통 Y(S) 의 값을 보고 time domain일 때의 함수를 유추 할 수 있다고 한다.

second ode에 관한 예시이다. 이번에도 아는 L Transform 결과가 나와서 inverse를 굳이 안하고 쉽게 구해진 예시이다.

왜 u(t) 가 step function이 되는가???
convolution을 가하면  integral [u(x -t) *x(t)] 이니 x(t)는 -inf ~t 까지만 존재하고 나머지 부위에서는 0이다.

1/s는 1/jw인데 1/j가 -j를 의미하여 시계방향으로 회전을 의미한다. (-j를 분모 분자 곱한 경우이다.)

그리고 amplitude 는 1/w 만큼 감소가 되는 의미를 가지고 있다.

H(S) [Transfer function]를 알면 h(t) 를 inverse L transform을 하면 된다.

derivative operator에 대한 L transform을 알고 있으니 대입해서 계산하면 H(S)를 구할수 있다. 이를 inverse L transform하면 원하는 h(t) 를 구할 수 있다.