04 forced response 05 (강제 응답)

Fourier Series

LTI(linear time invariant) system에 일정한 주기를 가지고 있는 input이 들어왔을 때 output y를 계산하는 법은

convolution 을 이용하여 계산하게 된다.

convolution은 어떤 특정 input값 t (x(a), h(b) 에서 a+b = t가 되는) 에 대해서 y(t) (output) 을 구하는 방법이다. 

알아둬야할 점은 input의 frequency와 output 의 frequency 가 그대로 유지되고 앞단에 eigen value가 붙어서 복소평면에서 보면 크기와 회전만 다르다.

즉 주기는 같지만(원운동을 하는 각속도는 같지만)  높이와 phase가 달라진다고 볼 수 있다.

 

실제 한 예시를  state space representation으로 나타내보면 A,B,C,D의 값이 위와 같이 나온다.

x1(state variable) = y (output) 이라고 하면

x1' = -5x1 + x(t)
y = x1

이 나오고 이것을 matrix로 나타내면 위와 같다. 뒤에가서 state space 관련 내용이 나온다.

또한 옆에 그래프를 살펴보면 주기는 같은데 output이 오른쪽으로 shift (phase diff) 가 되고 높이가 다른것을 확인 할 수 있다.

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response to periodic input (in frequency) 

위에서는 sin cos 류이지만 이번에는 일반적인 주기를 가지는 input을 다룬다.

periodic input을 harmonic component (sin, cos) 들의 series 로 나타낼수 있다.

여러 discrete frequency 로 나타내지는것을 볼 수 있다.

저 discrete frequency 를 가지는 함수들을 linear 하게 다 더하면 원본 x(t) 가 나오게 된다.

 

k가 n이 되는 순간에 적분대상이 1이 됨으로 적분값이 T가 된다.

나머지 k구간에서는 적분대상이 주기함수이기 때문에 상쇄되어서 0이 되게 된다.